已知X+1/X=2COSA,用数学归纳法证明X^n+1/X^n=2COSn*A

【题目】已知X+1/X=2COSA,用数学归纳法证明X^n+1/X^n=2COSn*A
【解】
(1)
n＝1时,x＋1/x=2cosA,结论成立
n＝2时,x²＋1/x²＝(x+1/x)²－2＝(2cosA)²－2＝2(cos²A-1)＝2cos(2A),结论成立
(2)
若n≤k(k≥2)时结论成立,此时有
x^(k-1)＋1/x^(k-1)＝2cos[(k-1)A],x^k＋1/x^k=2cos(kA)
那么,n＝k＋1时,有
x^(k+1)＋1/x^(k+1)
＝(x^k+1/x^k)(x+1/x)－[x^(k-1)+1/x^(k-1)]
＝4cos(kA)cosA－2cos[(k-1)A]
＝2{cos[(k+1)A]＋cos[(k-1)A]}－2cos[(k-1)A]……(积化和差公式)
＝2cos[(k+1)A]
即结论成立
由(1)(2)得,n≥1且n∈N时,结论成立
【题目】已知a1=2,an+1 = an + 1/an 求证an > 根号下2n+1
【解】
先证明一个引理：当x,y∈R且x＞y＞1时,
因为(x+1/x)－(y+1/y)＝(x-y)(xy-1)/xy＞0,所以x＋1/x＞y＋1/y
然后用数学归纳法证明题目,如下：
(1)
n＝1时,a[1]＝2＞√3＝√(2*1+1),结论成立
(2)
若n＝k(k≥1)时结论成立,此时有a[k]＞√(2k+1)＞1
而(2k+2)²－(2k+1)(2k+3)＞0
=> (2k+2)²＞(2k+1)(2k+3) => 2k＋2＞√((2k+1)(2k+3))
=> (2k+2)/√(2k+1)＞√(2k+3) => √(2k+1)＋1/√(2k+1)＞√(2k+3)
根据引理（x＝a[k],y＝√(2k+1)）,有
a[k+1]＝a[k]＋1/a[k]＞√(2k+1)＋1/√(2k+1)＞√(2k+3)＝√(2(k+1)+1)
即当n＝k+1时,结论也成立
由(1)(2)得,n≥1且n∈N时,结论成立