已知函数 f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．

解题思路：（Ⅰ）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（Ⅱ）代入特殊值缩小a的范围，然后根据a的范围确定函数f（x）的导函数的符号，从而得到f（x）在[-2，-1]上的单调性，最后根据恒成立只需f(x)min≥

2

e2

恒成立即可．

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x²e^x，f（1）=-e．f'（x）=-x²e^x-2xe^x，…（2分）
因为切点为（1，-e），则k=f'（1）=-3e，…（4分）
所以在点（1，-e）处的曲线的切线方程为：y=-3ex+2e．…（5分）
（Ⅱ）由题意得，f(−2)＝e−2(4a+a+1)≥
2
e2，即a≥
1
5．…（9分）
（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）f'（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]，…（10分）
因为a≥
1
5，所以f'（x）＞0恒成立，
故f（x）在[-2，-1]上单调递增，…（12分）
要使f(x)≥
2
e2恒成立，则f(−2)＝e−2(4a+a+1)≥
2
e2，解得a≥
1
5．…（15分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．

a＞5/1