（2011•广东）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=14x2．实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x

（2011•广东）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=

x²．实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）过点，A（p₀，

p₀²）（p₀≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=

|p0|

；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，

），E′（p₂，

p₂²），l₁，l₂与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|⇔φ（a，b）=

|p1|

．
（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥

（x+1）²-

}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φ_min）和最大值（记为φ_max）

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富贵的鱼幼苗

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（1）k_AB=y′|_x=p0=
1
2p₀，
直线AB的方程为y-
1
4p₀²=
1
2p₀（x-p₀），即y=
1
2p₀x-
1
4p₀²，
∴q=
1
2p₀p-
1
4p₀²，方程x²-px+q=0的判别式△=p²-4q=（p-p₀）²，
两根x_1，2=
p±|p0−p|
2=
p0
2或p-
p0
2，
而|p-
p0
2|=||p|-|
p0
2||，又0≤|p|≤|p₀|，
∴−|
p0
2|≤|p| −|
p0
2|≤|
p0
2|，得|p-
p0
2|=||p|-|
p0
2||≤|
p0
2|，
∴φ（p，q）=
|p0|
2；

（2）由a²-4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p₁＞p₂≥0，
得|p₁|＞|p₂|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．
②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p₁＞0＞p₂，
且|p₁|＞|p₂|；
显然有点M（a，b）∈X，
∴显然有点M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．
根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．
综上所述，M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．（*）
由（1）知点M在直线EF上，方程x²-ax+b=0的两根x_1，2=
p0
2或a-
p0
2，
同理知点M在直线E′F′上，方程x²-ax+b=0的两根x_1，2=
p0
2或a-
p0
2，
若φ（a，b）=
|p1|
2，则
|p1|
2不比|a-
p1
2|、
|p2|
2、|a-
p2
2|小，
∴|p₁|＞|p₂|；又|p₁|＞|p₂|⇒M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=
|p1|
2⇒M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=
|p1|
2；
∴M（a，b）∈X⇔φ（p，q）=
|p1|
2，综合（*）式，得证．

（3）联立y=x-1，y=
1
4（x+1）²-
5
4得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x₀，
1
4x₀

1年前

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