（2012•湖南）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为[1/2]的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2

解题思路：（Ⅰ）确定x²+y²-4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为[1/2]，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则k₁k₂=[1/2]，由l₁与圆C：x²+y²-4x+2=0相切，可得[(2−x0)2−2]k12+2(2−x0)y0k1+y02−2＝0，同理可得[(2−x0)2−2]k22+2(2−x0)y0k2+y02−2＝0，从而k₁，k₂是方程[(2−x0)2−2]k2+2(2−x0)y0k+y02−2＝0的两个实根，进而k1k2＝

y02−2

(2−x0)2−2

＝

1

2

，利用

x02

16

+

y02

12

＝1，即可求得点P的坐标．

（Ⅰ）由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圆心C（2，0）
设椭圆E的方程为：
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)，其焦距为2c，则c=2，
∵e＝
c
a＝
1
2，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12
∴椭圆E的方程为：
x2
16+
y2
12＝1
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则l₁：y-y₀=k₁（x-x₀）
l₂：y-y₀=k₂（x-x₀），且k₁k₂=[1/2]
由l₁与圆C：x²+y²-4x+2=0相切得
|2k1+y0−k1x0|

k12+1＝
2
∴[(2−x0)2−2]k12+2(2−x0)y0k1+y02−2＝0
同理可得[(2−x0)2−2]k22+2(2−x0)y0k2+y02−2＝0
从而k₁，k₂是方程[(2−x0)2−2]k2+2(2−x0)y0k+y02−2＝0的两个实根

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，解题的关键是确定k1，k2是方程[(2−x0)2−2]k2+2(2−x0)y0k+y02−2＝0的两个实根，属于中档题．