已知函数f（x）=x2+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．

解题思路：（1）充分利用题中条件：“f （1+x）=f （1-x）”，代入计算结合两式恒等即可求得实数 a的值．
（2）欲证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，即要证明如果对于属于[1，+∞）区间上的任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁＜x₂时都有f（x₁）＜f（x₂）．那么就说f（x）在 这个区间上是增函数．

（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）=（1-x）²+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根据（1）可知f（x）=x²-2x，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x₁＞x₂≥1，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-2x₁）-（x₂²-2x₂）
=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本小题主要考查二次函数的性质、函数单调性的判断与证明、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．函数的单调性也叫函数的增减性．函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．

已知二次函数f(x)=x2+ax且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立
第一种解法：说明函数关于x=1对称。则-a/2=1,所以a=-2
第二种解法：直接计算（1+X）^2+a(1+x)=（1-X）^2+a(1-x)
可以得到a=-2
知道了函数的解析式，然后用单调性的定义证明应该不是难题。按基本格式走就可以。这个你可以推到出来。...

(1) 这是一个对称函数，f（x）关于x=1对称，
f（x）=（x+a/2）^2-a^2/4
所以-a/2=1
a=-2
(2) 由于二次函数f（x）的开口向上，对称抽为x=1，所以在（1，+x）范围内是增函数。。。