如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长是1的正方形,侧棱BD⊥面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点

题目中侧棱BD⊥面ABCD 应该是侧棱PD⊥面ABCD !
!!
1、证明：作CD中点O,连结OM、ON
已知M,N分别是AB,PC的中点,那么：
在正方形ABCD中易得：MO//AD
在三角形PCD中,中位线ON//PD
又AD、PD是平面PAD内的两条相交直线,而OM、ON是平面OMN内的两条直线
所以由面面平行判定定理的推论可得：
平面PAD//平面OMN
又直线MN在平面OMN内
所以：MN//平面PAD
.
设PD=m
已知PD⊥面ABCD,那么：PD⊥AD
由（1）知：MO//AD,ON//PD
所以由等角定理有：∠MON=∠PDA=90°
在Rt△OMN中,MO=AD=1,ON=PD/2=m/2,MN=x
则由勾股定理有：MN²=MO²+ON²
即：x²=1+ m²/4
那么：m=2√(x²-1)
所以四棱柱P-ABCD的体积：
V(x)=(1/3)*PD*S正方形ABCD=(1/3)*m*1=(2/3)*√(x²-1)