设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：

解题思路：（Ⅰ）先根据余弦定理求得a，b和c的关系式，再利用c=3b消去b，进而可得答案．
（Ⅱ）对原式进行化简整理得cotB+cotC＝

sinA

sinBsinC

由正弦定理和（Ⅰ）的结论求得结果．

（Ⅰ）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(
1
3c)2+c2-2•
1
3c•c•
1
2=
7
9c2．
∴
a
c=

7
3．
（Ⅱ）cotB+cotC=
cosBsinC+cosCsinB
sinBsinC=
sin(B+C)
sinBsinC=
sinA
sinBsinC，
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
sinA
sinBsinC=
1
sinA•
a2
bc=
2

3•

7
9c2

1
3c⋅c=
14
3
3=
14
3
9．
故cotB+cotC=
14
3
9．

点评：
本题考点： 正弦定理；余弦定理．

考点点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法，应熟练掌握．

三角形中有a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以该题a/sin60`=b/sinB=c/sinC.
而c=3b,所以有sinC =3sinB,而A+B+C=180`,A=60`,所以B+C=120`
sinC=3sin(120`-C),展开得cosC/sinC=5/根号3，即cotC
sin(120`-B)=3sinB,展开得cosB/sinB=7/根号3,即cotB
所以cotB+cotC=12/根号3