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三郎笑看 幼苗
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(1)证明:由已知,CD⊥BC,
∴∠ADC=90°-∠CBD.
又∵⊙O切AY于点B,
∴OB⊥AB.
∴∠OBC=90°-∠CBD.
∴∠ADC=∠OBC.
又在⊙O中,OB=OC=R,
∴∠OBC=∠ACB.
∴∠ACB=∠ADC.
又∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACD.
(2)由已知,sinA=
3
5,
又OB=OC=R,OB⊥AB,
∴在Rt△AOB中,AO=
OB
sinA=
R
3
5=
5
3R,AB=
(
5
3R)2−R2=
4
3R.
∴AC=
5
3R+R=
8
3R.
由(1)已证,△ABC∽△ACD,
∴
AC
AB=
AD
AC.
∴
8
3R
4
3R=
AD
8
3R.
因此AD=
16
3R.
①当点D与点P重合时,AD=AP=4,
∴
16
3R=4.
∴R=
3
4.
②当点D与点P不重合时,有以下两种可能:
(i)若点D在线段AP上(即0<R<
3
4),PD=AP-AD=4-
16
3R,
(ii)若点D在射线PY上(即R>
3
4),PD=AD-AP=
16
3R-4,
综上,当点D在线段AP上(即0<R<
3
4)时,PD=4-
16
3R,
当点D在射线PY上(即R>
3
4)时,PD=
16
3R-4,
又当点D与点P重合(即R=
3
4)时,PD=0,故在题设条件下,总有PD=|
16
3R-4|(R>0).
点评:
本题考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
考点点评: 此题要能够熟练运用切线的性质定理、相似三角形的性质和判定.
1年前
你能帮帮他们吗