已知整数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k,求证：aB+bC+cA

沙椤 1年前 已收到2个回答 举报
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brightsky007 幼苗

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2aB+2bC+2cA≤(a^2+B^2)/2+(b^2+C^2)/2+(c^2+A^2)/2（等号当且仅当a=b=c=A=B=C时成立）
=(a^2+A^2)/2+(b^2+B^2)/2+(c^2+C^2)/2＜(a+A)^2/2+(b+B)^2/2+(c+C)^2/2=3k^2/2＜4k^2/2=2k^2
∴2（aB+bC+cA）＜2k^2 ∴aB+bC+cA＜k^2

1年前 追问

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沙椤 举报

这个方法我是会的，不知道还有没有其他解法？其实构造一个正方形也是可以的……

举报 brightsky007

好吧，我想说一下昨天为了抢分是复制粘贴，原证明是错的，第一步就错了。下面给出我的证明 k^2=（B+b）*k=Bk+bk=B(A+a)+b(C+c) =aB+bC+bc+AB 当A>c,bc+AB>bc+Bc=(b+B)c>Ac 当AbA+BA=A(b+B)>Ac 所以k^2=aB+bC+bc+AB>aB+bC+Ac 命题得证

789月 幼苗

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（a+A）^2+(b+B)^2+(c+C)=3k^2
展开左边 得 2（aA+bB+cC)+A^2+B^2+C^2+a^2+b^2+c^2=3k^2
所以 aA+bB+cC≤3/2k^2
即 aB+bC+cA

1年前

2
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