在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-[1/3]．
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-[1/3]．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
赞 笑傲股 幼苗
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解题思路：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：
|PA|•|PB|sin∠APB＝
|PM|• |PN|sin∠MPN．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．
（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y）
[y−1/x+1•
y+1
x−1＝−
1
3]
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则[1/2|PA|•|PB|sin∠APB＝
1
2|PM|• |PN|sin∠MPN．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
|PA|
|PM|＝
|PN|
|PB|]
所以
|x0+1|
|3−x0|＝
|3−x0|
|x0−1|
即（3-x0）2=|x02-1|，解得x0＝
5
3
因为x02+3y02=4，所以y0＝±
33
9
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(
5
3，±
33
9)．
点评：
本题考点： 轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．
考点点评： 本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
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