如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 8 2 5 x 2 +bx+c经过点A（ 3 2 ，0）和点B（1， 2 2 ），

（1）将A（
3
2 ，0）、B（1， 2
2 ）代入抛物线解析式y=
8
2
5 x ² +bx+c，得：



8
2
5 ×
9
4 +
3
2 b+c=0

8
2
5 +b+c=2
2 ，
解得：

b=-8
2
c=
42
2
5 ．
∴y=
8
2
5 x ² -8
2 x+
42
2
5 ．

（2）当∠BDA=∠DAC时，BD ∥ x轴．
∵B（1， 2
2 ），
当y= 2
2 时， 2
2 =
8
2
5 x ² -8
2 x+
42
2
5 ，
解得：x=1或x=4，
∴D（4， 2
2 ）．

（3）①四边形OAEB是平行四边形．
理由如下：抛物线的对称轴是x=
5
2 ，
∴BE=
5
2 -1=
3
2 ．
∵A（
3
2 ，0），
∴OA=BE=
3
2 ．
又∵BE ∥ OA，
∴四边形OAEB是平行四边形．
②∵O（0，0），B（1， 2
2 ），F为OB的中点，∴F（
1
2 ，
2 ）．
过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN= 2
2 -
2 =
2 ，BN=1-
1
2 =
1
2 ．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=
BN 2 + FN 2 =
3
2 ．
∵∠BMF=
1
3 ∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=
3
2 ，连接FG，则GN=BG-BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=
GN 2 + FN 2 =
3 ．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB ∽ △GMF，
∴
GM
GF =
GF
GB ，即

3
2 +BM

3 =

3

3
2 ，
∴BM=
1
2 ；
（II）当点M位于点B左侧时．
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF=
1
2 OB=FB=
3
2 ，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=
3
2 ，
∴BM=MK+BK=
3
2 +1=
5
2 ．
综上所述，线段BM的长为
1
2 或
5
2 ．