（2011•双流县三模）已知函数f（x）=x3-3x及y=f（x）上一点P（1，-2），过点P作直线l．

解题思路：（1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x²-3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．
（2）设另一切点为（x₀，y₀），求出该点切线方程，再由条件列方程计算．
（3）由（2）得g（x）=-[9/4]x+[1/4]，则F（x）=x³-3x+t（-[9/4]x+[1/4]），求其导数，再分类讨论：当[9/4]t+3≤0时，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函数；当[9/4]t+3＞0时，求得当t≤4时，F（x）在[2，+∞）上是增函数，从而求出t的取值范围．

（1）由f（x）=x³-3x得，f′（x）=3x²-3，
过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，
∴所求直线方程为y=-2．
（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x₀，y₀），
则f′（x₀）=3x₀²-3．
又直线过（x₀，y₀），P（1，-2），
故其斜率可表示为
y0−(−2)
x0−1=
x03−3x0+2
x0−1，
又
x03−3x0+2
x0−1=3x₀²-3，
即x₀³-3x₀+2=3（x₀²-1）•（x₀-1），
解得x₀=1（舍）或x₀=-[1/2]，
故所求直线的斜率为k=3×（[1/4]-1）=-[9/4]，
∴y-（-2）=-[9/4]（x-1），
即9x+4y-1=0．
（3）由（2）得g（x）=-[9/4]x+[1/4]，则F（x）=x³-3x+t（-[9/4]x+[1/4]），
∴F′（x）=3x³-（[9/4]t+3），
当[9/4]t+3≤0时，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函数；
当[9/4]t+3＞0时，由F′（x）=0得极值点：x₁=-

3
4t+1，x₂=

3
4t+1，
在

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程′、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．