已知△ABC中，三个内角A、B、C对应的三边长分别为a、b、c，且有4bcosAcosB=9asin2B．

解题思路：（Ⅰ）利用4bcosAcosB=9asin²B，直接求tanA•tanB的值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，通过tanC=tan[π-（A+B）]，诱导公式以及两角和的正切函数，求出tanC的最大值，然后判断此时△ABC的形状．

（Ⅰ）∵4bcosAcosB=9asin²B
∴4cosAcosB=9sinAsinB…（3分）
显然cosAcosB≠0
∴tanA•tanB＝
4
9…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanA•tanB＝
4
9＞0，故有tanA＞0，tanB＞0
∴tanA+tanB≥2
tanAtanB＝
4
3…（8分）
∵tanC＝tan[π−(A+B)]＝−tan(A+B)＝−
tanA+tanB
1−tanAtanB＝−
9
5(tanA+tanB)
≤−
9
5×2
tanA•tanB＝−
12
5…（10分）
当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值−
12
5，
此时△ABC为等腰三角形． …（12分）

点评：
本题考点： 三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系．

考点点评： 本题考查三角函数的化简求值，诱导公式与两角和的正切函数的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．