如图，在三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC 1 的中点，AB

证明：（1）设AB ₁ 和A ₁ B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB ₁ 的中点，D为AB的中点，所以OD ∥ BB ₁ 且 OD=
1
2 B B 1 ．
又E是CC ₁ 中点，
则EC ∥ BB ₁ 且 EC=
1
2 B B 1 ，即EC ∥ OD且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形．所以EO ∥ CD．
又CD⊄平面A ₁ BE，EO⊂平面A ₁ BE，
则CD ∥ 平面A ₁ BE．…（7分）
（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB ₁ ⊥AB，BB ₁ ⊥BC，
所以BB ₁ ⊥平面ABC．
因为CD⊂平面ABC，所以BB ₁ ⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A ₁ ABB ₁ ．
由（1）可知EO ∥ CD，所以EO⊥平面A ₁ ABB ₁ ．
所以EO⊥AB ₁ ．
因为侧面是正方形，所以AB ₁ ⊥A ₁ B．
又EO∩A ₁ B=O，EO⊂平面A ₁ EB，A ₁ B⊂平面A ₁ EB，
所以AB ₁ ⊥平面A ₁ BE．…（14分）

1年前