设关于x的一元二次方程2x2-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β）．

解题思路：（1）由二次函数图象特点知，2x12−tx1−2≤0，2x22−tx2−2≤0，则2x12−tx1−2+2x22−tx2−2≤0，整理后使用不等式进行放缩可得结论；（2）令f′（x）=0，可求得极值点为α，β，从而可知f（x）在[α，β]上的单调性，由单调性可求得最大值、最小值，借助韦达定理可表示出g（t），化简后利用不等式可求得g（t）的最小值；

（1）由2＞0，得y=2x²-tx-2的图象开口向上，
又x₁、x₂为区间[α、β]上的两个不同点，
所以2x12−tx1−2≤0，2x22−tx2−2≤0，
所以2x12−tx1−2+2x22−tx2−2≤0，即2(x12+x22)-t（x₁+x₂）-4≤0，
因为x12+x22＞2x1x2（x₁≠x₂），
所以4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜2(x12+x22)-t（x₁+x₂）-4≤0，
故4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0．
（2）对f（x）求导：f′（x）=
−2(2x2−tx−2)
(x2+1)2，
令f′（x）=0，即2x²-tx-2=0，
所以其极值点即是α，β，可知f（x）在[α，β]上递增，
f（x）_max=f（β），f（x）_min=f（α），
g（t）=f（β）-f（α）=
4β−t
β2+1-
4α−t
α2+1
=
(α−β)[4αβ−t(α+β)−4]
(α2+1)(β2+1)，
又α+β=
t/2]，αβ=-1，则4αβ-t（α+β）-4=-
t2+16
2，
（α²+1）（β²+1）=α²β²+（α+β）²-2αβ+1=
t2+16
4，
g（t）=2（β-α），
（β-α）²=（α+β）²-4αβ=
t2
4+4≥4，所以β-α≥2，
所以g（t）=2（β-α）≥4，即g（t）的最小值为4．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．