（2010•东城区二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．

证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
当n≥2时，S_n=4a_n-1+1．②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1．
所a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，
所以b_n=2b_n-1．
因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，
所以a₂=3a₁+1=4．
所以b₁=a₂-2a₁=2．
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=
1
log2bn+3=
1/n+3]
∴T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=[1/4×5]+[1/5×6]+[1/6×7]+…+[1
(n+3)(n+4)
=
1/4]-[1/n+4]
=[n
4(n+4)．
由4mT_n＞（n+2），得
mn/n+4]＞[n+2/n+3]．
即m＞
(n+4)(n+2)
n(n+3)．
所以m＞
n2+6n+8
n2+3n．
所以m＞1+[3n+8
n2+3n=1+
3/n+3]+[8
n2+3n．
设f（x）=1+
3/x+3]+[8
x2+3x，x≥1．
可知f（x）在[1，+∞）为减函数，又f（1）=
15/4]，
则当n∈N时，有f（n）≤f（1）．
所以∴m＞[15/4]．
故当m＞[15/4]．时，4mT_n＞（n+2）c_n恒成立．

点评：
本题考点： 等比关系的确定；函数恒成立问题；不等式的证明．

考点点评： 本题主要考查等比数列的性质和用裂项法求和的问题．等比数列常与对数函数、不等式等知识综合出题，是历年来高考必考题目．

1年前

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