数论奇偶性在黑板写下数字1,2,3,…,2014,任意擦去两个数并用它们的和或差代替,经过有限次操作,使得黑板上只剩下一

证明：根据题意得到,
两个数无论是奇数,还是偶数.必定有这样一个规律,
它们之和是偶数,它们只差必定是偶数；
它们之和是奇数,它们只差必定是奇数；
令S(N)表示N的奇偶属性.N为奇数 则S(N)=奇数,N为偶数 则S(N)=偶数
S(A+B)=S(A-B)
所以第i次操作后,写上的数M 一定等于已经抹去的数之和的属性.
S(M) =S( 已经抹去数求和)
所以反复按照题中的要去操作,最后的数必定与所有数之和的奇偶性是一样的.
1+2+3+.+2014= 2014*（2014+1）=1007*2015 =2029105 这个数是奇数.
当完全抹去后写上的数M,则S(M)= S(2029105)=奇数
所以无论怎么操作最后的数是奇数,而0是偶数,所以最后的数一定不为0.