已知一个四棱锥 P － ABCD 的三视图(正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如图， E 是侧

已知一个四棱锥 P － ABCD 的三视图(正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如图， E 是侧棱 PC 的中点．

(1)求四棱锥 P － ABCD 的体积；
(2)求证：平面 APC ⊥平面 BDE .

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（1）

（2）见解析

(1)由三视图可知， AB ＝ BC ＝1， PC ⊥平面 ABCD ，且 PC ＝2，
又底面 ABCD 是正方形，故 S _{正方形 ABCD} ＝1，所以 V_P _{－ ABCD} ＝

×1×2＝

.
(2)因为底面 ABCD 是正方形，所以对角线 AC ⊥ BD ，
又 PC ⊥平面 ABCD ，而 BD ⊂平面 ABCD ，故 BD ⊥ PC ，
又 PC ∩ AC ＝ C ，所以， BD ⊥平面 APC .
又 BD ⊂平面 BDE ，故平面 APC ⊥平面 BDE .

1年前

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