设函数f（x）=alnx-bx2，a，b∈R．

解题思路：（1）求出函数的导数f'（x），写出切点（1，-b），求出斜率f'（1），由切线方程得：f‘（1）=0且f（1）=-[1/2]，得到a，b的方程组，解出a，b．
（2）求出f’（x），再对a分a≤0，a＞0来讨论．a≤0时f'（x）＜0，得f（x）在x＞0上是减函数，无最大值；
当a＞0时，分别求出增区间和减区间，判断极值点，根据在开区间内，极值也是最值，从而得出结论．

（1）函数f（x）=alnx-bx²的导数f'（x）=[a/x−2bx，
又f（1）=-b，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=-
1
2]，
所以f'（1）=0，f（1）=-[1/2]即a-2b=0，b=[1/2]⇒a=1，b=[1/2]，
故实数a，b的值为a=1，b=[1/2]．
（2）因为b=1，所以f（x）=alnx-x²（x＞0），f'（x）=[a/x−2x，
①当a≤0时，因为x＞0，所以f'（x）＜0即f（x）在x＞0是减函数，所以函数无最大值；
②当a＞0时，f'（x）＞0得x2＜
a
2]⇒-

a
2＜x＜

a
2，但x＞0，所以增区间为（0，

a
2），
f'（x）＜0得x2＞
a
2⇒x＞

a
2或x＜-

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了导数的综合运用：求在切点处的切线方程和求函数的单调区间和极值以及最值，是一道导数的综合题，同时也考查了分类讨论的重要数学思想，同学应当掌握．本题属于中档题．