数学竞赛中共有10道题

答对一道题得6分,答错一题扣2分,不答得0分,小亮在这次竞赛中有两道题未做,他的成绩不低于80分,他至少做对了多少道题?答案：15题
一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1．若,则的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
由题设得．
代数式变形,同除b
2．若实数a,b满足,则a的取值范围是（ ）．
（A）a （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4
解．C
因为b是实数,所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．
方程思想,判别式定理；要解一元二次不等式
3．如图,在四边形ABCD中,∠B＝135°,∠C＝120°,AB=,BC=,CD＝,则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
D
如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F．
由已知可得
BE=AE=,CF＝,DF＝2,
于是 EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF,垂足为G．在Rt△ADG中,根据勾股定理得
AD＝．
勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法
4．在一列数……中,已知,且当k≥2时,
（取整符号表示不超过实数的最大整数,例如,）,则等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
B
由和可得
,
,
……
因为2010=4×502+2,所以=2．
高斯函数；找规律.
5．如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1,1）,B（2,－1）,C（－2,－1）,D（－1,1）．y轴上一点P（0,2）绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010,2） （B）（2010,）
（C）（2012,） （D）（0,2）
B由已知可以得到,点,的坐标分别为（2,0）,（2,）．
记,其中．
根据对称关系,依次可以求得：
,．
令,同样可以求得,点的坐标为（）,即（）,
由于2010=4502+2,所以点的坐标为（2010,）．
二、填空题
6．已知a＝－1,则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
0
由已知得 (a＋1)2＝5,所以a2＋2a＝4,于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟,小轿车追上了货车；又过了5分钟,小轿车追上了客车；再过t分钟,货车追上了客车,则t＝ ．
15
设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分）,并设货车经x分钟追上客车,由题意得
, ①
, ② ． ③
由①②,得,所以,x=30． 故 （分）．



8．如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0,0）,A（0,6）,B（4,6）,C（4,4）,D（6,4）,E（6,0）．若直线l经过点M（2,3）,且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 ．

如图,延长BC交x轴于点F；连接OB,AFCE,DF,且相交于点N．
由已知得点M（2,3）是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5,2）是矩形CDEF的中心,所以,
过点N（5,2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是,直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为,则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
9．如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D．若CD＝CF,则 ．
见题图,设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB,所以 即 ,
解得,或（舍去）．
又Rt△∽Rt△,所以, 即=．
10．对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足,则正整数的最小值为 ．
因为为的倍数,所以的最小值满足
,
其中表示的最小公倍数．
由于
,
因此满足的正整数的最小值为．

三、解答题（共4题,每题20分,共80分）
11．如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证：
（第12A题）


．
（第12B题）


（第12B题）


证明：如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以
ED⊥BC, FD⊥BC,
因此D,E,F三点共线. …………（5分）
连接AE,AF,则
,
所以,△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
,
从而 ,
所以 . …………（20分）
12．如图,抛物线（a0）与双曲线相交于点A,B. 已知点A的坐标为（1,4）,点B在第三象限内,且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a,b,k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
（1）因为点A（1,4）在双曲线上,
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.
设点B（t,）,AB所在直线的函数表达式为,则有
解得,.
于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故
,整理得,
解得,或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（,）．
因为点A,B都在抛物线（a0）上,所以解得 …………（10分）
（2）如图,因为AC∥x轴,所以C（,4）,于是CO＝4. 又BO=2,所以.
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为（,0）.
因为∠COD＝∠BOD＝,所以∠COB=.
（i）将△绕点O顺时针旋转,得到△.这时,点(,2)是CO的中点,点的坐标为（4,）.
延长到点,使得=,这时点（8,）是符合条件的点.
（ii）作△关于x轴的对称图形△,得到点（1,）；延长到点,使得＝,这时点E2（2,）是符合条件的点．
所以,点的坐标是（8,）,或（2,）. …………（20分）

13．求满足的所有素数p和正整数m.
．由题设得,
所以,由于p是素数,故,或. ……（5分）
（1）若,令,k是正整数,于是,
,
故,从而.
所以解得 …………（10分）
（2）若,令,k是正整数.
当时,有,
,
故,从而,或2.
由于是奇数,所以,从而.
于是
这不可能.
当时,；当,无正整数解；当时,无正整数解.
综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. …………（20分）

14．从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

首先,如下61个数：11,…,（即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面,设是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数,因为
, ,
所以 .
因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设,i=1,2,3,…,n.
由,得,
所以,即≥11. …………（15分）
≤,
故≤60. 所以,n≤61.
综上所述,n的最大值为61. …………（20分）

（快点给分）