（2013•昌平区二模）设数列{an}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2…+an），（其

（1）当k=0，b=3，p=-4时，3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂…+a_n），①
用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）-4=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），②
②-①得，3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，（2分）
在①中令n=1得，a₁=1，则a_n≠0，∴
an+1
an＝3，
∴数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=
3n−1
2．（4分）
（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂…+a_n），③
用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂…+a_n+a_n+1），④
④-③得，（n-1）a_n+1-na_n+a₁=0，⑤（6分）
用n+1去代n得，na_n+2-（n+1）a_n+1+a₁=0，⑥
⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，（8分）
∴数列{a_n}是等差数列．
∵a₃=3，a₉=15，∴公差d＝
a9−a3
9−3＝2，∴a_n=2n-3．（10分）
（3）由（2）知数列{a_n}是等差数列，∵a₂-a₁=2，∴a_n=a₁+2（n-1）．
又{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*使a₁+2（n-1）+a₁+2（m-1）=a₁+2（p-1），
得a₁=2（p-m-n+1），故a₁是偶数，（12分）
又由已知，[1/12＜
1
S1＜
11
18]，故[18/11＜a1＜12．
一方面，当
18
11＜a1＜12时，S_n=n（n+a₁-1）＞0，对任意n∈N^*，都有
1
S1+
1
S2+
1
S3+…+
1
Sn≥
1
S1＞
1
12]．
另一方面，当a₁=2时，S_n=n（n+1），[1
Sn＝
1/n−
1
n+1]，则[1
S1+
1
S2+
1
S3+…+

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．

1年前

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