（2012•高邮市二模）如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，23）、（4，0）、（3，23），点M是A

解题思路：（1）根据点A、D的纵坐标相等可以得出AD∥OC，再根据两点之间的距离公式可以求出AO、AD和DC的值，从而得出结论；（2）由条件可以求出△MOC是等边三角形，由等边三角形的性质可以耳朵出∠MOC=∠MCO=60°，由条件可以得出∠MPO=∠PQC，可以得出△OMP∽△CPQ，由相似三角形的性质可以求出结论；（3）根据（2）的解析式可以求出y的最值，可以求出当x=2时，可以求出MQ的值，可以求出Q点运动路径长，当OP=3时，x=1，可以求出MQ的值，从而可以得出结论．

（1）∵A（1，2
3）、D（3，2
3），
∴AD∥OC，
由两点间的距离公式可以求出OA=
13，DC=
13，
∴OA=DC．
∵AD=2，OC=4，
∴AD≠OC
∴梯形AOCD是等腰梯形；
（2）∵M是AD的中点，
∴AM=DM=1，
∴M（2，2
3），
由两点间的距离公式可以求出MO=MC=4．
∵OC=4，
∴OM=OC=MC=4
∴△OMC是等边三角形，
∴∠MOP=∠QCP=60°．
∵∠MPQ=60°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3，
∴△OMP∽△CPQ
∴[OM/PC＝
OP
CQ即
4
x＝
4−x
4−y]
∴y＝
1
4x2−x+4（0≤x≤4）；
（3）∵y＝
1
4x2−x+4，
∴y＝
1
4(x−2)2+3，
∴x=2时，y_最小=3即MQ=3．
当OP=3时，x=1，y=[13/4]即，MQ=[13/4]，
∴当0≤x≤2时，Q点运动路径长为4-3=1
当2＜x≤3时，Q点运动路径长为[13/4−3＝
1
4]
∴当P点从O点运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长为1+
1
4＝
5
4个单位．

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了等腰梯形的判定方法的运用，等边三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出三角形MOC是等边三角形是关键，求Q点运动的路径长是难点．