一道竞赛题（好像不是很难）3+i*根号2是一个一元三次方程的根,如果这个方程没有二次项,其他项的系数都是整数,求这个方程

一道竞赛题（好像不是很难）
3+i*根号2是一个一元三次方程的根,如果这个方程没有二次项,其他项的系数都是整数,求这个方程.
要详细过程 谢谢
knightzq 1年前 已收到4个回答 举报
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金山狂狼 幼苗

共回答了18个问题采纳率：100% 举报

实系数方程有根3+√2 i,一定有共轭复根3-√2 i,
这个方程没有二次项,三根之和为0,所以第三个根是-6,
这个方程是
[x-(3+√2 i)][x-(3-√2 i)][x+6]=0,
(x^2-6x+11)(x+6)=0,
x^3-25x+66=0.

1年前

3

娇我爱你 幼苗

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设该方程为ax^3+bx+c=0(a,b,c都是整数)
把x=3+i*根号2代入方程a(3+i*根号2)^3+b(3+i*根号2)+c=0
整理得(9a+3b+c)+√2(25a+b)i=0
因为a,b,c都是整数，所以
9a+3b+c=0
25a+b=0
容易得到b=-25a,c=66a
所以方程为x^3-25x+66=0

1年前

2

小刀无情Oo 幼苗

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设方程为
ax^3+bx+c=0
则
a(3+√2 i)^3+b(3+√2 i)+c=0
化简:
9a+3b+c+√2(25a+b)i=0
故有:
9a+3b+c=0
25a+b=0
解得b=-25a,c=66a
故方程为
x^3-25x+66=0

1年前

2

goolooboo 幼苗

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设方程为 ax^3+bx+c=0
则 a(3+√2 i)^3+b(3+√2 i)+c=0
而(3+√2 i)^3=3^3+3*3^2*(√2 i)+3*3*(√2 i)^2+(√2 i)^3
=27+27*(√2 i)+9*(-2)+2√2(-i)
=9+25√2 i
所以化简得(9+25√2 i)*a+b(3+√2 i)+c=0
9+3...

1年前

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