（2012•长沙模拟）已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x

（1）由题意可得，f1(x)＝0，f2(x)＝2sinx，x∈[0，
π
2]
于是f₂（x）-f₁（x）=2sinx．
若f（x）是[0，[π/2]]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在[0，[π/2]]上恒成立，且∃x₁∈[0，[π/2]]使得2sinx＞（k-1）x
成立．
令φ（x）=sinx-x，x∈[0，[π/2]]，则φ′（x）=cosx-1＜0，所以φ（x）=sinx-x在[0，[π/2]]单调递减，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0，[π/2]]，即sinx≤x，于是2sinx≤2x在[0，[π/2]]恒成立；
又∃x₁=[π/2]，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整数k=2，使f（x）为[0，[π/2]]上的“2阶收缩函数”．
（2）g'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），令g'（x）=0得x=0或x=2．
令g（x）=0，解得x=0或3．
函数g（x），g′（x）的变化情况如下：

x （-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g′（x） - 0 + 0 -
g（x） 0 4 （ⅰ）b≤2时，g（x）在[0，b]上单调递增，
因此，g₂（x）=g（x）=-x³+3x²，g₁（x）=g（0）=0．
因为g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①g₂（x）-g₁（x）≤2（x-0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g₂（x）-g₁（x）＞（x-0）成立．
①即：-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，由-x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²-3x+1）＜0成立．
由x（x²-3x+1）＜0得：x＜0或
3−
5
2＜x＜
3+
5
2，所以，需且只需b＞
3−
5
2．
综合①②可得：

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；三角函数的最值．

考点点评： 本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．