已知向量a=（cosωx，3cosωx），b=（sinωx，cosωx）（其中0＜ω≤1），记f（x）=a•b-32，且
已知向量
=（cosωx，
cosωx），
=（sinωx，cosωx）（其中0＜ω≤1），记f（x）=
•
-
，且满足f（x+π）=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-[π/12]，[5π/12]]时，求函数y=f（x）的值域；
（3）如果关于x的方程3[f（x）]2+mf（x）-1=0在区间[-[π/12]，[5π/12]]上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-[π/12]，[5π/12]]时，求函数y=f（x）的值域；
（3）如果关于x的方程3[f（x）]2+mf（x）-1=0在区间[-[π/12]，[5π/12]]上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
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解题思路：（1）先表示出f（x），利用两角和公式和二倍角公式化简，利用f（x+π）=f（x）推断出函数的周期，进而求得ω，函数的解析式可得．（2）根据x的范围确定2x+π3的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．（3）根据题意推断出方程有三个不相等的根，需要2个根在[12，1]，另一个根在[-12，12）上，根据二次函数的性质列不等式组求解．
（1）f（x）=
a•
b-
3
2=cosωxsinωx+
3cos2ωx-
3
2=[1/2]sin2ωx+
3
2cos2x=sin（2ωx+[π/3]），
∵f（x+π）=f（x）．
∴函数的周期为π，
∴T=[2π/2ω]=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+[π/3]）．
（2）∵x∈[-[π/12]，[5π/12]]，
∴2x+[π/3]∈[[π/6]，[7π/6]]，
∴sin（2x+[π/3]）∈[-[1/2]，1]，
即函数f（x）的值域为：[-[1/2]，1]．
（3）要使方程有三个不相等的根，需要2个根在[[1/2]，1]，另一个根在[-[1/2]，[1/2]）上，
令t=f（x），g（t）=3t2+mt-1，
则有
g(1)＝3+m−1＞0
g(
1
2)＝
3
4+
t
2−1≤0
g(−
1
2)＝
3
4−
t
2−1≥0，求得-2＜m≤-[1/2]．
点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，二次函数的性质．运用数形结合的思想和转化与化归的思想．
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