设等差数列{a n }的前n项和为S n ．已知a 3 =12，S 12 ＞0，S 13 ＜0．
| 设等差数列{a n }的前n项和为S n ．已知a 3 =12，S 12 ＞0，S 13 ＜0． （1）求公差d的取值范围． （2）指出S 1 ，S 2 ，…，S 12 中哪一个值最大，并说明理由． |
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（1）依题意，有 S 12 =12 a 1 +
12×(12-1)
2 •d＞0 ，
S 13 =13 a 1 +
13×(13-1)
2 •d＜0
即
2 a 1 +11d＞0①
a 1 +6d＜0②
由a 3 =12，得a 1 =12-2d③，
将③式分别代①、②式，得
24+7d＞0
3+d＜0
∴ -
24
7 ＜d＜-3．
（2）由d＜0可知a 1 ＞a 2 ＞a 3 ＞…＞a 12 ＞a 13 ．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n ＞0，a n+1 ＜0，
则S n 就是S 1 ，S 2 ，…，S 12 中的最大值．
⇒
6( a 1 + a 12 )=6(a 6 + a 7 )＞0
13
2 (a 1 + a 13 )=
26 a 7
2 =13 a 7 ＜0 ，
∴a 6 ＞0，a 7 ＜0，
故在S 1 ，S 2 ，…，S 12 中S 6 的值最大．
12×(12-1)
2 •d＞0 ，
S 13 =13 a 1 +
13×(13-1)
2 •d＜0
即
2 a 1 +11d＞0①
a 1 +6d＜0②
由a 3 =12，得a 1 =12-2d③，
将③式分别代①、②式，得
24+7d＞0
3+d＜0
∴ -
24
7 ＜d＜-3．
（2）由d＜0可知a 1 ＞a 2 ＞a 3 ＞…＞a 12 ＞a 13 ．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a n ＞0，a n+1 ＜0，
则S n 就是S 1 ，S 2 ，…，S 12 中的最大值．
⇒
6( a 1 + a 12 )=6(a 6 + a 7 )＞0
13
2 (a 1 + a 13 )=
26 a 7
2 =13 a 7 ＜0 ，
∴a 6 ＞0，a 7 ＜0，
故在S 1 ，S 2 ，…，S 12 中S 6 的值最大．
1年前
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