f(x)在【0,1】可导,f(0)=0,f(1)=1,求证存在m,n使1/f'(m)+1/f'(n)=2

zhuyongli123456 1年前 已收到2个回答 举报
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zrm0860 春芽

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由于f(x)在(0,1)上可导,[0,1]上连续
故,由闭区间上连续函数的介值定理,存在a∈(0,1)使得f(a)=0.5
在[0,a]上用拉格朗日中值定理,存在x∈(0,a)使得[f(a)-f(0)]/(a-0)=f'(x)
代入f(a)=1/2,即1/f'(x)=2a
在[a,1]上用拉格朗日中值定理,存在y∈(a,1)使得[f(a)-f(1)]/(a-1)=f'(y)
即1/f'(y)=2(1-a)
所以1/f'(x)+1/f'(y)=2得证

1年前

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可靠带句话儿 幼苗

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我没多想，希望对你有帮助。画出图像，标(0,0)和(1,1)，如果在这两点间是直线，则k=1，m,n为任意值都成立，如果这两点间是曲线，则斜率取值范围必包含1，因此原式1/f'(m)+1/f'(n)在这两点间取值范围必包含2。这个感觉比较难表述。

1年前

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