已知如图正方形ABCD中CD=8,E是CD的中点,CF⊥BE于点P,交AD于点F.(1)求CF的长(2)求证AP=AD

⑴∵ABCD是正方形,E为CD中点,
∴BC=AD,BE=√BC^2+CE^2)=4√5,∠BCD=∠CDF=90°,
∴∠BCP+∠DCF=90°,
∵CF⊥BE,∴∠BCP+∠CBE=90°,
∴∠CBE=∠DCF,
∴ΔCBE≌ΔDCF,
∴CF=BE=4√5.
⑵延长CF、BA相交于G
由⑴全等得：CE＝DF,∴DF=AF,
∵AD∥AB,∴∠FAD=∠DGA,∠D=FAG=90°,
∴△GAF≌△CDF
∴AG＝CD
∴AG＝AB
∴G是BG的中点
∴AP＝AB =1/2BG（直角三角形斜边上中线等于斜边一半）
∵AB=AD,
∴AP=AD.

①∵∠DCF+∠BCF=90°
∠CBE+∠BCF=90°
∴∠CBE=∠DCF
∵∠D=∠DCB
BC=CD
所以△BCE≌△CDF
所以BE=CF
因为CE=4 BC=8
所以BE=CF=4根号5
②因为∠BPF=90° ∠BAF=90°
所以ABPF四点共圆
连接BF
所以∠BFA=∠APB