函数值域问题 求y值域 y=x-k√(x^2-1)

y = x - k√(x^2 - 1),设 √(x^2 - 1) = t (t ≥ 0),x = √(t^2 + 1)
则 y = √(t^2 + 1) - kt (t≥0),令 t = tanu ( 0≤u＜Pi/2),则:
y = secu - ktanu = 1/cosu - k(sinu/cosu) = (1-ksinu)/cosu
∴ ksinu + y cosu = 1
∴ √(k^2 + y^2)sin(u+φ) = 1,tanφ = y/k
∴ sin(u+φ) = 1/√(k^2 + y^2) ≤ 1
∴ y ≥ √(1 - k^2 )
补充:x →+∞,√(x^2 - 1) → x,y → (1-k)x → +∞ (1-k为正数定值）,
可知y无上界.
∴ y的值域是 [√(1 - k^2 ),+∞]

y'=1-kx/[√(x^2-1)]={[√(x^2-1)]-kx}/[√(x^2-1)]
讨论y'的正负情况
由于√(x^2-1)大于等于0，故只看分子。
令y'>0，得√(x^2-1)>kx
不等式两端均为正数，同时平方
x^2-1>(k^2)x^2
(1-k^2)x^2>1 由0得到x>1/[√(1-k^2)]，显然1/[√(...

根号放等号左边，右边放x的一次式和y
两边平方，整理，可得一关于x的2次方程(1-k^2)x^2-2yx+k^2-y^2=0,
令f(x)=(1-k^2)x^2-2yx+k^2-y^2,因为x》1，所以f(1)》0，得到（-1+根号2，1+根号2）而且对称轴要大于等于1，又得y》1-k^2,
再讨论1-k^2与（1+根号2）的大小就可确定值域...

以为0最后结果 ! ( Y>1 )

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