设x∈N满足(1+xx)2013＜20142013．数列a1，a2，…，a2013是公差为x2013，首项a1＝(x+1

证明：首先，ai＝(x+1)2x2012−1+(i−1)x2013，-----------------（2分）
bi＝(x+1)x2013(
1+x
x)i−1＝(x+1)ix2014−i．-----------------（4分）
bi+1−bi＝x2013(
1+x
x)i…（6分）
用归纳法证明 ai−bi≥x2013
2014−i
2013， 1≤i≤2013．
由于a1−b1＝x2013+x2012−1≥x2013，即i=1成立．…（8分）
假设 1≤i≤2012成立，则ai+1−bi+1＝(ai+1−ai)−(bi+1−bi)+(ai−bi)＝x2013−x2013(
1+x
x)i+(ai−bi)
≥x²⁰¹³-x2013(
1+x
x)2013+（a_i-b_i）≥−x2013•
1
2013+（a_i-b_i）
≥−x2013
1
2013+x2013
2013−i+1
2013＝x2013
2014−(i+1)
2013．…（14分）
所以，a_i＞b_i，i=1，2，…，2013．
归纳证明b_i+1＞a_i，i=1，2，…，2012，首先 b₂-a₁=1＞0，
假设 1≤i≤2011成立，
则b_i+2-a_i+1=（b_i+2-b_i+1）-（a_i+1-a_i）+（b_i+1-a_i）=x2013(
1+x
x)i+1−x2013+(b i+1−ai)＞0．…（17分）
故命题成立．

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．