（1）已知：f(x)＝4x2−12x−32x+1，x∈[0，1]，求函数f（x）的单调区间和值域；

（1）y＝f(x)＝2x+1+
4
2x+1−8，设t=2x+1，1≤t≤3
则y＝t+
4
t−8，t∈[1，3].
任取t₁、t₂∈[1，3]，且t₁＜t₂，f(t1)−f(t2)＝
(t1−t2)(t1t2−4)
t1t2，
当1≤t≤2，即0≤x≤
1
2时，f（x）单调递减；
当2＜t≤3，即
1
2＜x≤1时，f（x）单调递增．
由f(0)＝−3，f(
1
2)＝−4，f(1)＝−
11
3，得f（x）的值域为[-4，-3]．
（2）设x₁、x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，
所以g（x）单调递减．
（3）由g（x）的值域为：1-3a²-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，
所以满足题设仅需：1-3a²-2a≤-4≤-3≤-2a，
解得，1≤a≤
3
2．

点评：
本题考点： 函数的单调性及单调区间；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了利用函数的单调性求函数值域，以及存在性问题的求解，是一个函数综合题．

有疑问可以追问哦。，