∠AOB=30度,∠AOB内部有一定点P,OP=10,在OA上找一点Q,在OB上找一点R,使三角形PQR周长最小,则是多

设∠POA=θ,则∠POB=30°-θ.作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.
作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.
联接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再联接PQ,PR,则△PQR即为周长最短的三角形.
这是因为按作图法,OA是PE的垂直平分线,故EQ=QP;同理,OB是PF的垂直平分线,故FR=RP,∴△PQR的周长=EF.
如果Q,R偏离现在的位置到Q1,R1,则新△PQ1R1的周长=折线EQ1R1F
的长>直线段EF的长.
下面确定△PQR的周长.也就是确定EF的长度.
由于OE=OF=OP=10cm,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°-θ)
=60°,∴△EOF是正三角形,∴EF=10cm.即在保持OP=10cm的条件下,△PQR的最小周长为10cm,而与P的具体位置无关.
作点E 与P关于OA对称；作点F 与P关于OB对称.
连接EF交OA、OB于Q、R两点,则△PQR的周长最短.
∠EOF=60°,OE=OP
∴△PQR的周长=EF=10cm.
证明：∵点E 与P关于OA对称,∴QE=QP,同理RF=RP.
∴EF=△PQR的周长.
若OA 上另有一点M,OB上另有一点N,则△PMN的周长=EM+MN+MF≥EF.