已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k为常数，

（1）令x=y=1，f（2）=f（1）+f（1）+12+2k+3⇒k=0，则f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3
对于x，y∈R都成立
令x=t（t∈N*），y=1f（t+1）=f（t）+f（1）+3t（t+3）+3⇒f（t+1）-f（t）=3t ² +9t+4⇒f（2）-f（1）=3×1 ² +9×1+4f（3）-f（2）=3×2 ² +9×2+4
…f（t）=f（t-1）=3（t-1） ² +9×（t-1）+4
用叠加法 f（t）-f（1）=3[1 ² +2 ² +…+（t-1） ² ]+9[1+2+…+（t-1）]+4+4•k…+4= 3•
1
6 (t-1)•t•(2t-1)+9•
1
2 (t-1)•t+4(t-1) =t ³ +3t ² -4
∴f（t）=t ³ +3t ² -3（t≥2）又t=1适合上式f（t）=t ³ +3t ² -3（t≥2）（t∈N*）
（2）若t∈N*，则t ³ +3t ² -3=t⇒t ³ -t+3（t ² +1）=0⇒（t-1）（t+1）（t+3）=0⇒t ₁ =1，t ₂ =-1，t ₃ =-3（舍）
又令x=y=0f（0）=-3
令y=-x-3=f（x）+f（-x）+（-6x ² ）+3⇒f（x）+f（-x）=6x ² -6对x∈R都成立
若t为负整数，则f（t）=6t ² -6-f（-t）=6t ² -6+t ³ -3t ² +3=t ³ +3t ² -3
由t ³ +3t ² -3=t（t+3）（t+1）（t-1）⇒t ₁ =-3，t ₂ =-1，t ₃ =1（舍）
若t=0，则f（t）═t无解综上，满足f（t）=t，所有整数t为1，-1，-3；
（3）要使不等式恒成立，则只需 m≤
t 3 +3 t 2 -t-3
t 2 +4t+3 对t≥4，且t∈N*恒成立
即 m≤
(t+3)(t+1)(t-1)
(t+3)(t+1) =t-1 对t≥4，且t∈N*恒成立
即且m≤（t-1） _min =3
实数m最大值为3