已知点C（0,1）,反比例函数y=x分之k（k大于0）经过点P,圆P与Y轴相切于C,与X轴交于A、B
已知点C（0,1）,反比例函数y=x分之k（k大于0）经过点P,圆P与Y轴相切于C,与X轴交于A、B
1）求实数k的取值范围
2）求过A、B、C三点的二次函数解析式
3）若二次函数顶点为D,问是否存在实数k,使四边形ADBP为菱形?若存在,求出k的值；若不存在,说明理由
4）此抛物线的顶点D是否可能在圆P内?并证明你的结论
1）求实数k的取值范围
2）求过A、B、C三点的二次函数解析式
3）若二次函数顶点为D,问是否存在实数k,使四边形ADBP为菱形?若存在,求出k的值；若不存在,说明理由
4）此抛物线的顶点D是否可能在圆P内?并证明你的结论
赞 清华同方1 幼苗
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(1)圆P与y轴相切且切点C（0,1）,∴PC=x=k/y=k/1=k=r(半径) ∴P的坐标是（k,1）
∴圆的方程是：（x-k)²+(y-1)²=k².∴当y=0时x=k±√k²-1 ∴A(k-√k²-1,0)B(k+√k²-1,0)
∵AB=▏(k+√k²-1)-(k-√k²-1)▏=2√k²-1 .∵k²-1＞0,∴k＞1.(k＜-1舍去)
（2）设二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)=a[x-(k-√k²-1)][x-(k+√k²-1)当.x=0时y=1
∴1=a·[-(k-√k²-1)]·[-(k+√k²-1)].∴a=1
∴y=(x-k+√k²-1)(x-k-√k²-1)
即y=x²-2kx+1 .化为顶点式为 y=（x-k)²+(1-k²) .
(3)∵D的坐标为（k ,1-k²）.四边形ADBP是菱形∴AB与DP互相垂直平分
∴▏1-k²▏=1.∴k=√2.（k=0舍）
（4）如果点D圆内,则k²-1＜k.解得（1-√5）/2＜k＜(1+√5)/2.又k＞1
∴1＜k＜(1+√5)/2
∴抛物线的顶点D可以圆P内.
∴圆的方程是：（x-k)²+(y-1)²=k².∴当y=0时x=k±√k²-1 ∴A(k-√k²-1,0)B(k+√k²-1,0)
∵AB=▏(k+√k²-1)-(k-√k²-1)▏=2√k²-1 .∵k²-1＞0,∴k＞1.(k＜-1舍去)
（2）设二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)=a[x-(k-√k²-1)][x-(k+√k²-1)当.x=0时y=1
∴1=a·[-(k-√k²-1)]·[-(k+√k²-1)].∴a=1
∴y=(x-k+√k²-1)(x-k-√k²-1)
即y=x²-2kx+1 .化为顶点式为 y=（x-k)²+(1-k²) .
(3)∵D的坐标为（k ,1-k²）.四边形ADBP是菱形∴AB与DP互相垂直平分
∴▏1-k²▏=1.∴k=√2.（k=0舍）
（4）如果点D圆内,则k²-1＜k.解得（1-√5）/2＜k＜(1+√5)/2.又k＞1
∴1＜k＜(1+√5)/2
∴抛物线的顶点D可以圆P内.
1年前
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