平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^2=4x交于不同的A、B两点 如果：向量OA乘向量OB=-4,证明直线L必过一

设A(x1,y1),B(x2,y2) 直线L的斜率不为0 则设直线为x=my+t (注意,此种设法可以避免分类讨论,即讨论直线的斜率是否存在.) 与抛物线方程y^2=4x联立,即将直线代入抛物线方程.则 y2=4(my+t) ∴ y2-4my-4t=0 利用韦达定理则 y1+y2=4m,y1*y2=-4t ∴ x1*x2=(4x1*4x2)/16=(y12*y22)/16=t2 ∵ 向量OA乘向量OB=-4 ∴ x1x2+y1y2=-4 ∴ t2-4t=-4 ∴ t2-4t+4=0 ∴ (t-2)2=0 ∴ t=2 即直线方程为x=my+2 ∴ 直线L恒过一个定点,这个定点的坐标是(2,0)