已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0．

解题思路：我们先假设，a+b=1再证明a³+b³+ab-a²-b²=0成立，即命题的必要性，再假设a³+b³+ab-a²-b²=0再证明a+b=1成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0．

证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²
=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²
=0
再证充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0
∴（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
即：（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a²-ab+b²=(a-
1
2b)2+
3
4b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0

点评：
本题考点： 充要条件；综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．

a^3+b^3+ab-a^2-b^2
= a^3-a^2+b^3-b^2+ab
=a^2(a-1)+b^2(b-1)+ab
=-a^2b-ab^2+ab
=ab(1-a-b)
因为a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0，所以ab(1-a-b)=0，因为ab≠0，所以1-a-b=0，所以a+b=1

因为a+b=1,所以（a+b)^3=1,...

a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
因式分解，得(a+b-1)(a^2+b^2-ab)=0
由于a^2+b^2≥2ab≠ab，因ab≠0
所以
a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0等价于 a+b-1=0