Yesterday she told me the same story (that) you did.

要研究能不能用as来代替that,我认为要从语法上去分析.
众所周知,初中的时候我们就学过这样的句型：tell sb sth 和 tell sth to sb,而这里用的句型是tell sb sth.在 tell sb sth 这个句型里,tell 是谓语,sb 和sth 都是宾语,它们只是直接宾语和间接宾语的区分罢了.
依上面的理论分析,我们可以知道the same story 在句子中的角色就是宾语,you did 是一个从句,它修饰宾语 the same story ,所以它自然就是宾语从句了.
话说到这里,聪明的你一定会联想到初中英语老师所讲的话了.那就是that可以引导宾语从句,所以这里可以用that是无疑的了.
至于能不能用as呢?请听在下为你慢慢道来.知识这种东西就像品茶一样,得慢慢地品才品出味道,所以切记狼吞虎咽.
其实你也应该知道,初中英语老师也曾不厌其烦地告诉我们,那就是as不能引导宾语从句.那既然不能引导宾语从句,自然就不能用as来代替that了.
又如,I love you as you love me ,“正如你爱我一样,我也爱你”这里又可以用as了,至于是什么原因呢?只要你肯从语法上去分析,你就会得到答案.
以上见解不代表官方意见.(你不要听什么特指泛指这种误人子弟的话,离开语法来评论语言就好比不用法律来审判犯人）

Yesterday she told me the same story that you did.
that修饰the story，特指“与你所讲那个相同的故事”
Yesterday she told me the same story as you did.
as引导的从句修饰整个前半句话she told...(as you did)，“(正如你所做的那样……) 她给我...

不行。that是特指，而as是泛指

that特指the same story,而as指的是一类story

nononono