在梯形ABCD中,AB//CD,过对角线的交点O作MN//AB,分别交CB、AD于N、M,求证1/AB+1/CD=2/M

∵AB//CD （已知）
∴∠BAO=∠DCO
∠ABO=∠CDO （平行线内错角相等）
∴△ABO∽△CDO
∴BO/DO＝AB/CD　 （相似形对应边成比例）
　BO/BD＝AB/（AB+CD）　　（合比性质）
∵ AB//CD//MN　　　（已知）
∴AM/MD＝BN/NC　　（平行线截得的线段成比例）
　AM/AD＝BN/BC　　　　　（合比性质）
∵ON//CD
∴△BON∽△BDC
∴ON/DC＝BN/BC＝BO/BD　　　（相似形对应边成比例）
同理可证　OM/DC＝AM/AD
∴ON/DC＝OM/DC
∴ON＝OM＝NM/2
∴（NM/2）/DC＝BO/BD＝AB/（AB+CD）
∴（NM/2）＝DC*AB/（AB+CD）
∴（AB+CD）/DC*AB＝1/AB+1/CD=2/MN
证毕

证明：由已知可得：
ON/AB=CN/BC , ON/CD=BN/BC------两式相加得：ON（1/AB+1/CD）=BC/BC=1
OM/AB=DM/AD , OM/CD=AM/AD-----两式相加得：OM（1/AB+1/CD）=AD/AD=1
以上两式相加：（ON+OM）（1/AB+1/CD）=2...