已知一个正方形,它的边长为A.试用割补的方法得到一个新的图形,使它的面积保持不变,但周长增加.请你用代数式表示图形变化N
已知一个正方形,它的边长为A.试用割补的方法得到一个新的图形,使它的面积保持不变,但周长增加.请你用代数式表示图形变化N次后得到的新图形的周长.
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将正方形轴对称线切开,然后短边与短边相接；然后顺次将新长方形切开,并使其短边相接：
第一次新增加2×A,减少2×(A/2)
第二次新增加2×2A,减少2×(A/2^2)
第三次新增加2×2^2 A,减少2×(A/2^3)
.
第n次2×2^(n-1) A,减少2×(A/2^n)
n次后新图形周长=原周长+增加值-渐少值：
4A + 2A ×{ 1+2+4+...2^(n-1) } - 2A ×{ 1/2+1/4+1/8+...+1/2n }
= 4A + 2A × { 1 × (2^n-1)/(2-1) } - 2A × { 1/2 × [ (1/2)^n-1]/(1/2-1) }
= 4A + 2A × (2^n-1) - 2A × [ 1-(1/2)^n ]
= 4A + 2A × (2^n-1) - 2A × (2^n-1)/2^n
= 4A + 2A × (2^n-1) × (1-1/2^n )
= 4A + 2A × (2^n-1)^2 /2^n
第一次新增加2×A,减少2×(A/2)
第二次新增加2×2A,减少2×(A/2^2)
第三次新增加2×2^2 A,减少2×(A/2^3)
.
第n次2×2^(n-1) A,减少2×(A/2^n)
n次后新图形周长=原周长+增加值-渐少值：
4A + 2A ×{ 1+2+4+...2^(n-1) } - 2A ×{ 1/2+1/4+1/8+...+1/2n }
= 4A + 2A × { 1 × (2^n-1)/(2-1) } - 2A × { 1/2 × [ (1/2)^n-1]/(1/2-1) }
= 4A + 2A × (2^n-1) - 2A × [ 1-(1/2)^n ]
= 4A + 2A × (2^n-1) - 2A × (2^n-1)/2^n
= 4A + 2A × (2^n-1) × (1-1/2^n )
= 4A + 2A × (2^n-1)^2 /2^n
1年前
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