微分几何Manifold在听梁灿彬老师的《微分几何入门与广义相对论》chapter 2时,讲到了微分结构,也就是Mani

微分几何Manifold
在听梁灿彬老师的《微分几何入门与广义相对论》chapter 2时,讲到了微分结构,也就是Manifolds,他说,首先有个Topological Space,满足有一个OpenCover,然后得满足2个条件才能使这个Topological Space具有微分结构,第一个条件是得有一个Homeomorphism ψ：O->V ,O∈T,V是n维空间的Usual Topological Space; 第二个条件是O1 ∩ O2≠ ∅ ,ψ2▫ψ1^-1 is c infinity.我不是很理解怎么才能保证c infinity,如果我要判断一个空间是否是manifold,那就第二点我就没法判断了,1.我怎么这个映射就一定是infinity的呢?2.c infinity的定义又是什么呢?
dou_dou_er 1年前 已收到1个回答 举报
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梅影疏月 幼苗

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首先我也是自学的,所以有的地方理解可能不够准确,如果有不同观点欢迎讨论.我认为 ψ：O->V 有很多个,不一定每一个ψ都要求是光滑的,只要能在每一个开集O上都找到一个ψ：O->V是光滑的就可以了,流形的要求是存在一个微分同胚映射而不是任意一个映射都是微分同胚的.所以只要能很随意的在每个O上都构造出一个无穷次连续可微（c infinity）的函数,且满足相容性条件,就说是流形.其实我觉得这个定义是为了追求严谨性,对于实际有物理意义的几何对象,一般都可以证明是流形.

1年前 追问

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dou_dou_er 举报

C infinity是无穷维积分都存在且连续，这个我们怎么保证啊

举报 梅影疏月

只要不是特意构造的，有很多函数都满足这个条件吧，恒等映射f(x)=x，或者三角函数sinx,cosx都是无穷次连续可微啊。

dou_dou_er 举报

这些初等函数的连续可微可以证明吗

举报 梅影疏月

像f(x)=x，f'(x)=1，二阶以上的导数都等于0，所以任意阶导函数都是连续可微的。e^x的任意阶导数都等于e^x，因此也是连续可微。还有我不知道在复流形里这个映射ψ可不可以是复变函数，如果可以的话满足条件的函数会有很多，因为复变函数只要可微就任意阶都可微。
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