在△ABC中,∠B＝60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,且相交于点O.F为AC上一点,且AE＝AF

证明：
∵∠B＝60
∴∠BAC+∠BCA＝180-∠A＝120
∵AD平分∠BAC,CE平分∠BCA
∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC/2, ∠OCA＝∠OCB＝∠BCA/2,BO平分∠ABC
∴∠AOC＝180-（∠OAC+∠OCA）
＝180-（∠BAC+∠BCA）/2
＝180-120/2
＝120
∴∠DOE＝∠AOC＝120
∴∠B+∠DOE＝180
∴B、D、O、E四点共圆
又∵BO平分∠ABC
∴∠ABO＝∠CBO
∴OD＝OE
∴∠AOE＝180-∠AOC＝60
∴∠COD＝∠AOE＝60
∵AE＝AF,AO＝AO
∴△AEO≌△AFO （SAS）
∴∠AOF＝∠AOE＝60
∴∠COF＝∠AOC-∠AOF＝60
∴∠EOF＝∠AOE+∠AOF＝120, ∠DOF＝∠COD+∠COF＝120
∴∠EOF＝∠DOF
∵OF＝OF
∴△EOF≌△DOF （SAS）
∴EF＝DF

证明：
因为∠EOA=∠DOC=∠OAC+∠OCA
所以∠EOF=2∠EOA=2∠DOC=∠DOF
又因为∠EFO=90°-∠AOF=90°-∠COF=∠DFO且OF共边
所以三角形EOF和三角形DOF全等(ASA)
所以FE=FD