缥缈月光 幼苗
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(I)f′(x)=2x-
a
x,
∵f'(1)=0,∴a=2,
∴f(x)=x2-2lnx,f′(x)=2x-
2
x
f'(x)>0,即x>1时,函数f(x)=x2-2lnx单调递增;
f'(x)<0,即0<x<1时,函数f(x)=x2-2lnx单调递减.
综上:函数f(x)=x2-2lnx的单调递增区间为(1,+∞);
函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间为(0,1)
(II)f′(x)=2x-
a
x=
(2x2-a)
x
当a≤0时,x∈[1,2],f'(x)>0,函数递增
∴当x=1时f(x)有最小值,并且最小值为1
当a>0时,
(1)当0<a≤2时,函数在[1,2]上递增,所以当x=1时f(x)有最小值,并且最小值为4
(2)当2<a<8时,函数在[1,
2a
2]上递减,在[
2a
2,2]上递增;
所以当x=
2a
2时f(x)有最小值,并且最小值为
a-aln
a
2
2
(3)当8≤a,函数在[1,2]上递减,所以当x=2时f(x)有最小值,并且最小值为(4-aln2)
点评:
本题考点: A:函数在某点取得极值的条件 B:利用导数研究函数的单调性 C:利用导数求闭区间上函数的最值
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.
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