设数列{an}的前n项和为Sn，a1=b且an=2an-1+[12n（n＞1，n∈N*）

解题思路：（Ⅰ）根据b的值和递推公式，依次求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）根据递推公式的特点，两边同乘以2ⁿ进行变形后构造数列bn＝2nan，代入式子得：b_n=4b_n-1+1，
再设b_n+k=4（b_n-1+k），利用待定系数法求出k的值，构造新的等比数列{b_n+[1/3]}，利用等比数列，的通项公式求出b_n，再求出a_n的表达式，利用条件得：a_n+1-a_n＞0对任意n∈N^*恒成立，代入后化简求出b的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出的a_n，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出S_n的表达式，再化简出S_n-S₂的表达式并分离b，再对n进行分类讨论，利用恒成立求出最值方法求出对应的b的取值范围．

（Ⅰ）由b=-[1/8]，a₁=b且a_n=2a_n-1+[1
2n（n＞1，n∈N^*）得，
a2＝2×(−
1/8)+
1
4]=0，a3＝2×0+
1
8=[1/8]，a4＝2×
1
8+
1
16=[5/16]；
（Ⅱ）由a_n=2a_n-1+[1
2n得，2nan＝4(2n−1an−1)+1，
令bn＝2nan，则b₁=2a₁=b，b_n=4b_n-1+1，
设b_n+k=4（b_n-1+k），得b_n=4b_n-1+3k，
解得k=
1/3]，即bn+
1
3＝4(bn−1+
1
3)
∴数列{b_n+[1/3]}是以2b+[1/3]为首项、4为公比的等比数列，
∴bn+
1
3＝(2b+
1
3)•4n−1，则bn＝(2b+
1
3)•4n−1−
1
3，
故2nan＝(2b+
1
3)•4n−1−
1
3，
∴an＝(2b+
1
3)•2n−2−
1
3•2

点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，递推公式的转化和应用，以及分组法求数列的前n项和，构造法求数列的通项公式，分离法求参数的值，考查了分类讨论思想、转化思想和恒成立问题，难度较大，需要很强的逻辑思维能力和计算化简能力．