如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．点M在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时点N在线

解题思路：（1）由条件可知AM=12-t，AN=2t，利用条件可得到AM=AN，从而可得到关于t的方程，可求出t；
（2）当∠MNA=90°时，可得[AN/AC]=[AM/AB]，当∠NMA=90°时，有[AN/AB]=[AM/AC]，分别代入可得到关于t的方程，可求得t．

（1）∵BC=5米，AC=12米，
∴AM=12-t，AN=2t，
若∠AMN=∠ANM，则AM=AN，
即12-t=2t，
解得t=4秒
即当t为4秒时，∠AMN=∠ANM；
（2）∵∠C=90°，
∴当△ABC和△AMN相似时，有∠MNA=90°和∠NMA=90°两种情况，且可求得AB=13，
当∠MNA=90°时，可得[AN/AC]=[AM/AB]，即[2t/12]=[12−t/13]，解得t=[72/19]；
当∠NMA=90°时，可得[AN/AB]=[AM/AC]，即[2t/13]=[12−t/12]，解得t=[156/37]；
即当t为[72/19]秒或[156/13]秒时，△ABC与△AMN相似．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定；等腰三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意利用时间t表示出线段的长，化动为静是这类问题的一般思路．