已知函数f(x)＝3sin(ωx+ϕ)−cos(ωx+ϕ) (0＜ϕ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数
已知函数f(x)＝
sin(ωx+ϕ)−cos(ωx+ϕ)(0＜ϕ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为[π/2]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移[π/6]个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
（3）若存在x0∈(0，
)，使不等式f（x0）＜m成立，求实数m的取值范围．
| 3 |
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移[π/6]个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
（3）若存在x0∈(0，
| 2π |
| 3 |
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解题思路：（1）化简f（x）的解析式，利用f（x）为偶函数求出ϕ值，再利用周期等于π，求出ω，即得f（x）的解析式．
（2）g(x)＝2cos2(x−
)＝2cos(2x−
)，由2kπ≤2x−
≤2kπ+π，解得x的范围，即得函数的单调递减区间．
（3）依题可得只需x0∈(0，
)时，m大于f（x0）的最小值即可．
（2）g(x)＝2cos2(x−
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（3）依题可得只需x0∈(0，
| 2π |
| 3 |
（1）
f(x)＝
3sin(ωx+ϕ)−cos(ωx+ϕ) =
2sin(ωx+ϕ−
π
6)，
∵f（x）为偶函数，所以ϕ−
π
6＝kπ+
π
2，又0＜ϕ＜π，所以ϕ＝
2π
3，
函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为[π/2]，所以周期T=π，于是ω=2，所以，f(x)＝2sin(2x+
π
2)＝2cos2x．
（2）g(x)＝2cos2(x−
π
6)＝2cos(2x−
π
3)，由2kπ≤2x−
π
3≤2kπ+π，
解得 kπ+
π
6≤x≤kπ+
2π
3，所以函数的单调递减区间为[kπ+
π
6，kπ+
2π
3](k∈Z)．
（3）依题可得只需x0∈(0，
2π
3)时，m＞（f（x0））min =-2．
点评：
本题考点： 三角函数的最值；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
考点点评： 本题考查y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，正弦函数的奇偶性、单调性及最值，求g（x）的单调递减区间是解题的难点．
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