（2013•泉州质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿射线CA以

（2013•泉州质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿射线CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：AB=

cm；
（2）若0＜t＜5，试问：t为何值时，△PCQ与△ACB相似；
（3）若∠ACB的平分线CE交△PCQ的外接圆于点E．试探求：在整个运动过程中，PC、QC、EC三者存在的数量关系式，并说明理由．

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现实的天窗幼苗

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解题思路：（1）根据勾股定理求出即可；
（2）要使△PCQ与△ACB相似，必须有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．当∠PQC=∠A时，△PCQ∽△BCA，得出[CQ/CA＝

BC]，代入求出即可；当∠PQC=∠B时，△PCQ∽△ACB，得出[CQ/CB

＝

AC]，代入求出即可；
（3）分为两种情况：画出图形，当0＜t＜5时，过点E作HE⊥CE交AC于H，求出∠HEP=∠CEQ，∠QCE=∠PCE=45°，PE=QE，证△QCE≌△PHE，推出QC=PH，根据勾股定理求出即可；当t≥5时，过点E作ME⊥CE交AC于M，同法可证△QCE≌△PME，根据勾股定理求出即可．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=5cm，由勾股定理得：AB=
102+52=5
5（cm）
故答案为：5
5；

（2）如图1，由题意可知：PC=2t，QB=t，QC=5-t．
∵∠PCQ=∠ACB，
∴要使△PCQ与△ACB相似，必须有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．
当∠PQC=∠A时，△PCQ∽△BCA，
由[CQ/CA＝
PC
BC]可得[5−t/10＝
2t
5]，
解得：t=1，
当∠PQC=∠B时，△PCQ∽△ACB，
由[CQ/CB＝
PC
AC]可得[5−t/5＝
2t
10]，
解得t＝
5
2，
∴当t=1或[5/2]秒时，△PCQ与△ACB相似；

（3）当0＜t＜5时，如图2，
过点E作HE⊥CE交AC于H，则∠HEP+∠PEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PQ为△PCQ的外接圆的直径，
∴∠QEP=90°，即∠QEC+∠PEC=90°，
∴∠HEP=∠CEQ，
又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°，
∴∠QCE=∠PCE=45°，
∴

PE＝

QE，
∴PE=QE，
∴∠QCE=∠PHE=45°，
∵在△QCE和△PHE中

点评：
本题考点：相似形综合题．

考点点评：本题考查了等腰直角三角形，三角形的外接圆，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．

1年前

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