已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0

已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0
若存在常数c,使f(c/2)=0.求证：对于任意x属于R,有f(x+c)=-f(x)成立

woke110 1年前已收到2个回答举报

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令x=y=0,得2f(0)=2*[f(0)]^2 且f(0)不等于0
所以f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以 f(x)为偶函数,从而
f(x+c)+f(x)=f(x+c)+f(-x)=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立

1年前

lakerjn 幼苗

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令x=x,y=c/2
则有f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)=0 （1）

再在上式中令x-c/2=t,则x+c/2=t+c
代入上式（1）中，有f(t+c)+f(t)=0
f(t+c)=-f(t)
由于x的定义域是全体实数，所以t的定义域也为全体实数，证毕！

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