设sn为数列{an}的前n项和对任意的n属于N*,都有Sn=(m+1)-man(m为常数,且m大于0）.

（1）证明：当n=1时,a1=S1=（m+1）-ma1,解得a1=1．
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=man-1-man．
即（1+m）an=man-1．
∵m为常数,且m＞0,∴
an
an−1
＝
m
1+m
（n≥2）
∴数列{an}是首项为1,公比为
m
1+m
的等比数列．
由（1）得,q=f（m）=
m
1+m
,b1=2a1=2．
∵bn＝f(bn−1)＝
bn−1
1+bn−1
,
∴
1
bn
＝
1
bn−1
+1,即
1
bn
−
1
bn−1
＝1（n≥2）．
∴{
1
bn
}是首项为
1
2
,公差为1的等差数列．
∴
1
bn
＝
1
2
+(n−1)•1＝
2n−1
2
,即bn＝
2
2n−1
（n∈N*）．
（3）证明：由（2）知bn＝
2
2n−1
,则bn2＝
4
(2n−1)2
．
所以Tn=b12+b22+b32++bn2=4+
4
9
+
4
25
++
4
(2n−1)2
,
当n≥2时,
4
(2n−1)2
＜
4
2n(2n−2)
＝
1
n−1
−
1
n
,
所以Tn＝4+
4
9
+
4
25
++
4
(2n−1)2
＜4+
4
9
+(
1
2
−
1
3
)+(
1
3
−
1
4
)++(
1
n−1
−
1
n
)=
40
9
+
1
2
−
1
n
＜
89
18
．