证明等式arcsinx+arccosx=π/2 x∈(-∞,+∞) 证明当x≠0时,e^x>1+x

证明：arcsinx+arccosx=π/2
设 arcsinx = u,arccosx = v ,(-1≤x≤1),
则 sinu=x,cosu=√[1-(sinu)^2]=√[1-x^2],
cosv=x,sinv=√[1-(cosv)^2]=√[1-x^2],
左边=arcsinx+arccosx=
=sin(u+v)=sinuconv+conusinv=
=x^2+√[1-x^2]√[1-x^2]=
=x^2+1-x^2=
=1,
右边=sin(π/2)=1,
因为 左边=右边,故
arcsinx+arccosx=π/2 成立,(-1≤x≤1).
证明：e^x>1+x
设f(x)=e^x-(1+x),则f(0)=0,且f'(x)=e^x-1
由此可见,当x＞0时f'(x)＞0,从而f(x)在区间[0,＋∞)
上单调增加.当x＜0时f'(x)＜0,从而f(x)在区间（－∞,0]上单调减少
所以,x≠0时都有f(x)＞f(0)=0,即
f(x)=e^x-（1+x)＞0 (x≠0)