中学数学习题如图,以坐标原点为圆心,1为半径的圆分别交X,Y轴的正坐标于点A,B.(1)已知动点P从点A 出发
中学数学习题
如图,以坐标原点为圆心,1为半径的圆分别交X,Y轴的正坐标于点A,B.(1)已知动点P从点A 出发,沿X轴向右匀速运动,与此同时,动点Q从点B处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动,若点Q的运动速度比点P 的运动速度慢,经过1秒后点P运动到点（2,0）,此时PQ恰好是⊙O的切线,连接OQ,求∠QOP的大小.（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动,点P 停留在点（2,0）处不动,求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长.
如图,以坐标原点为圆心,1为半径的圆分别交X,Y轴的正坐标于点A,B.(1)已知动点P从点A 出发,沿X轴向右匀速运动,与此同时,动点Q从点B处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动,若点Q的运动速度比点P 的运动速度慢,经过1秒后点P运动到点（2,0）,此时PQ恰好是⊙O的切线,连接OQ,求∠QOP的大小.（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动,点P 停留在点（2,0）处不动,求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长.
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（1）如图一,连接AQ．
由题意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2,
∴A为OP的中点．
∵PQ与⊙O相切于点Q,
∴△OQP为直角三角形．
∴ ．
即△OAQ为等边三角形．
∴∠QOP=60°．
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°,若Q按照（1）中的方向和速度
继续运动,那么再过5秒,则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D,过O作OC⊥QD于点C,则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°,OQ=1,OP=2,
∴QP= ．
∵ ,
∴OC= ．
∵OC⊥QD,OQ=1,OC= ,
∴QC= ．
∴QD= ．
由题意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2,
∴A为OP的中点．
∵PQ与⊙O相切于点Q,
∴△OQP为直角三角形．
∴ ．
即△OAQ为等边三角形．
∴∠QOP=60°．
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°,若Q按照（1）中的方向和速度
继续运动,那么再过5秒,则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D,过O作OC⊥QD于点C,则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°,OQ=1,OP=2,
∴QP= ．
∵ ,
∴OC= ．
∵OC⊥QD,OQ=1,OC= ,
∴QC= ．
∴QD= ．
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